Unsicherheiten

Quantifizierung polymorpher Unsicherheiten in mechanischen Systemen

Ein charakteristischer Bestandteil moderner Methoden der Produktentwicklung ist die Simulation von Modellen und eine hierauf aufbauende optimale Auslegung und Dimensionierung der Produkte bereits in ihrer Konzeptionsphase. Die stetig anwachsende Leistungsfähigkeit moderner Computer in Bezug auf sowohl Rechengeschwindigkeit wie auch Speicherplatz erlaubt es dabei, immer rascher Lösungen für immer komplexere Problemstellungen zu erzielen, und das bei immer höherer Genauigkeit der Ergebnisse. Diese Zunahme der Simulationsgenauigkeit täuscht allerdings oft über die Tatsache hinweg, dass die im Rahmen der Modellerstellung angenommenen Modellparameter in den meisten Fällen eine Exaktheit widerspiegeln, die in der Realität nur selten ihre Entsprechung findet. Die erzielte Genauigkeit für die gewonnenen Simulationsergebnisse entspricht damit oft nur scheinbar der Realität.

Vor diesem Hintergrund stellt der Umgang mit Unsicherheiten eine besondere Herausforderung bei der Erstellung und Auswertung der Simulationsmodelle dar. Diese Unsicherheiten treten in vielfältiger Weise auf und lassen sich nach ihren Ursprüngen im Wesentlichen in zwei Kategorien unterteilen: in aleatorische Unsicherheiten und in epistemische Unsicherheiten. Während die erstgenannten die zufälligen Schwankungen in den physikalischen Eigenschaften eines Systems oder Produktes widerspiegeln, wie beispielsweise fertigungsbedingte Variabilitäten oder Streuungen in den Material- oder Geometrieparametern, ergeben sich epistemische Unsicherheiten aus den verschiedensten Formen unzureichenden Wissens oder aus unvollständig oder nur beschränkt gültigen Informationen bei der Herleitung mathematischer Modelle. Hierzu zählen Vagheit, Ungewissheit sowie noch zulässige Designfreiheitsgrade in den Parametern während der Konzeptions- bzw. Dimensionierungsphase von Produkten ebenso wie Idealisierungen oder Vereinfachungen in der Modellierungsphase oder auch subjektive Vorgehensweisen in der softwaretechnischen Implementierung der Modelle in der Phase der Simulation.

Die sogenannte Possibilitäts- oder Möglichkeitstheorie bietet nun ein universell einsetzbares Konzept zur verbesserten bzw. erweiterten Analyse von Systemen, welches eine gezielte Erfassung bzw. Einbeziehung von Unsicherheiten gestattet und die Simulation von Systemen mit unsicheren Modellparametern mithilfe der Fuzzy-Arithmetik erlaubt.

Rekonstruktion einer Zugehörigkeitsfunktion aus Messdaten. (c)
Rekonstruktion einer Zugehörigkeitsfunktion aus Messdaten.

Modellierung

Im Gegensatz zur klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie können über possibilistische Beschreibungen nicht nur aleatorische, sondern auch epistemische Unsicherheiten gut abgebildet werden. Die Ermittlung passender Zugehörigkeitsfunktionen der Fuzzy-Parameter stellt dabei den wesentlichen Bestandteil der Modellierung dar.

Ansprechpartner:

Multi-Fidelity-Modellierung eines Finite-Elemente-Modells (c)
Multi-Fidelity-Modellierung eines Finite-Elemente-Modells

Propagation

Die Vorhersage des Systemverhaltens unter Berücksichtigung von Unsicherheiten gestaltet sich trotz moderner und leistungsfähiger Rechnerstrukturen als aufwendig und schwierig. Rechenzeitintensive und damit teure Modellauswertungen und eine hohe Problemdimension lassen den Simulationsaufwand exponentiell ansteigen. Mithilfe moderner, fortschrittlicher Methoden lässt sich die Rechenzeit jedoch um bis zu mehrere Größenordnungen reduzieren. Als Ansätze kommen hierbei Dünngitterersatzmodelle sowie possibilistische Multi-Fidelity Methoden zur Anwendung.

Ansprechpartner: Markus Mäck, M.Sc.

Identifikation der Massen eines Zwei-Massen-Schwingers. (c)
Identifikation der Massen eines Zwei-Massen-Schwingers.

Identifikation

Mit der stetigen Zunahme an Wissen und neuen Erkenntnissen über physikalische Systeme werden auch die Modelle, die diese abbilden sollen, immer komplexer. Ein Problem besteht darin, dass die Parameter dieser Modelle oft schwierig oder nur sehr zeit- und kostenintensiv zu bestimmen sind. Die Schätzung dieser unbekannten Parameter geschieht üblicherweise über einen Abgleich der Modellvorhersagen mit Experimentaldaten, wobei Mess- und Systemrauschen eine exakte Identifikation verhindern. Mit Methoden der inversen Fuzzy-Arithmetik können die dadurch entstehenden Unsicherheiten jedoch abgebildet und quantifiziert werden.

Ansprechpartner: Dominik Hose, M.Sc.

Zulässige Menge der Lösung eines unscharfen Optimierungsproblems (c)
Zulässige Menge der Lösung eines unscharfen Optimierungsproblems

Optimierung

Die optimale Auslegung mechanischer Systeme sowie Prozesse zur Entscheidungsfindung unter Berücksichtigung von Unsicherheiten beschäftigen sich mit den Fragen, inwieweit sich Ungewissheit und Ignoranz auf das optimale Design auswirken. Im Hinblick auf die Unsicherheiten wird dabei eine robuste Lösung gesucht.

Ansprechpartner:

Possibilistische Robustheitsanalyse eines klassischen LQ-Reglers. (c)
Possibilistische Robustheitsanalyse eines klassischen LQ-Reglers.

Regelung

Der Entwurf von regelungstechnischen Systemen ohne die Berücksichtigung von Unsicherheiten kann eine schlechte Regelgüte oder auch Stabilitätsprobleme zur Folge haben, sobald das reale System signifikant vom modellierten Verhalten abweicht. Die Untersuchung klassischer Regelungskonzepte hinsichtlich ihrer Robustheit gegenüber Unsicherheiten kann dabei unter Einbeziehung der Possibilitätstheorie zu neuartigen Möglichkeiten der Reglersynthese führen.

Ansprechpartner: Andreas Hofmann, M.Sc.

Software

FAMOUS (Fuzzy Arithmetical Modeling Of Uncertain Systems) ist eine Matlab-basierte Toolbox für die Analyse von Systemen unter Unsicherheiten. Sie wird kontinuierlich am ITM weiterentwickelt und mit aktuellen Forschungsergebnissen erweitert.

Kontakt

Michael Hanss
apl. Prof. Dr.-Ing.

Michael Hanss

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